根を持つ方程式を解く方法

時々方程式に根のサインがあります。 多くの学生にとって、このような方程式を「ルーツで」解くのは非常に困難であるように見えます。より正確には、不合理な方程式を解くのは難しいのですが、そうではありません。

取扱説明書

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他のタイプの方程式（2次方程式や線形方程式など）とは異なり、根を持つ方程式、またはより正確には無理方程式を解くための標準的なアルゴリズムはありません。 それぞれの場合において、方程式の「外観」と特徴に基づいて、最適な解法を選択する必要があります。

同程度の方程式の部分の発生。

ほとんどの場合、根をもつ方程式（無理方程式）を解くために、方程式の両辺を同じ次数まで上げることが使用されます。 原則として、根の次数と等しい次数（平方根は二乗、立方根は立方体）。 方程式の左辺と右辺を均等に上げると、「余分な」ルーツを持つ可能性があることを覚えておく必要があります。 したがって、この場合、得られた根を方程式に代入して確認する必要があります。 平方根（偶数）の根を持つ方程式を解くときは、変数（ODZ）の許容値の範囲に特に注意する必要があります。 場合によっては、ODLの推定だけで方程式を解く、または大幅に簡略化することができます。

例。 方程式を解く：

√（5x-16）= x-2

方程式の両側を二乗します。

（√（5x-16））²=（x-2）²。

5x-16 =x²-4x+ 4

h²-4x+ 4-5x + 16 = 0

h²-9x+ 20 = 0

得られた二次方程式を解いて、その根を見つけます：

x =（9±√（81-4 * 1 * 20））/（2 * 1）

x =（9±1）/ 2

x1 = 4、x2 = 5

見つかった両方の根を元の方程式に代入すると、正しい等式が得られます。 したがって、両方の数値は方程式の解です。

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新しい変数を導入する方法。

新しい変数を導入して、「根との方程式」（無理方程式）の根を見つける方が便利な場合があります。 実際、この方法の本質は、解決策のよりコンパクトな記録、つまり 毎回かさばる式を書く代わりに、凡例に置き換えられます。

例。 方程式を解く：2x +√x-3= 0

この方程式を解くには、両側を2乗します。 ただし、計算自体はかなり面倒に見えます。 新しい変数の導入により、決定プロセスはよりエレガントになります。

新しい変数を導入：y =√x

次に、通常の二次方程式を取得します。

2y²+ y-3 = 0、変数y。

結果の方程式を解くと、2つの根が見つかります。

y1 = 1およびy2 = -3 / 2

式で見つかったルートを新しい変数（y）に置き換えると、次のようになります。

√x = 1および√x = -3 / 2。

平方根の値を負の数にすることはできないため（複素数の領域に触れない場合）、唯一の解決策が得られます。

x = 1。

平方根解