ベクトル上に構築された平行四辺形の面積を計算する方法

任意の2つの非同一線上および非ゼロベクトル上で、平行四辺形を構築できます。 これらの2つのベクトルは、それらの原点を1点で組み合わせると、平行四辺形を縮小します。 図の側面を仕上げます。

取扱説明書

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座標が与えられている場合、ベクトルの長さを求めます。 たとえば、ベクトルAが平面内の座標（a1、a2）を持っているとします。 ベクトルAの長さは| A | =√（a1²+a2²）です。 同様に、ベクトルBのモジュールを見つけます：| B | =√（b1²+b2²）、ここでb1とb2は平面上のベクトルBの座標です。

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平行四辺形の面積は、式S = | A |•| B |•sin（A ^ B）によって求められます。ここで、A ^ Bは、与えられたベクトルAとBの間の角度です。正弦は、基本的な三角関数の恒等式を使用して余弦を介して見つけることができます：sin²α+cos²α= 1。 コサインは、座標で記述されたベクトルのスカラー積で表すことができます。

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ベクトルAとベクトルBのスカラー積は、（A、B）で表されます。 定義により、（A、B）= | A |•| B |•cos（A ^ B）と等しくなります。 座標では、スカラー積は次のように記述されます：（A、B）= a1•b1 + a2•b2。 ここから、ベクトル間の角度の余弦を表すことができます：cos（A ^ B）=（A、B）/ | A |•| B | =（a1•b1 + a2•b2）/√（a1²+a2²）•√（a2²+ b2²）。 分子ではスカラー積、分母ではベクトルの長さ。

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これで、主な三角関数の単位から正弦を表すことができます。sin²α=1-cos²α、sinα=±√（1-cos²α）。 ベクトル間の角度αが鋭角であると仮定した場合、鋭角のサインは正（またはゼロの角度ではゼロ）しかできないが、ここでは角度がゼロでないため、サイン付きのマイナスを破棄してプラス記号のみを残すことができます。これは条件に表示されます。ベクトルの非共線性）。

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次に、正弦式の余弦を座標式で置き換える必要があります。 この後、結果を平行四辺形の面積式に書き込むだけです。 これがすべて行われ、数式が簡略化された場合、S = a1•b2-a2•b1であることがわかります。 したがって、ベクトルA（a1、a2）およびB（b1、b2）上に作成された平行四辺形の面積は、式S = a1•b2-a2•b1によって求められます。

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結果の式は、ベクトルAとBの座標で構成される行列の行列式です：a1 a2b1 b2。

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実際、次元2の行列の行列式を取得するには、主対角要素（a1、b2）の要素を乗算し、これから側対角要素（a2、b1）の要素の積を引く必要があります。